APLICAÇÃO PRÁTICA DO TEOREMA DE PI – EXEMPLO DE NÚMEROS ADIMENSIONAIS

Nesta aula, é apresentado um exemplo prático da aplicação do Teorema de Pi, com o objetivo de determinar os números adimensionais que representam um fenômeno envolvendo a força de arrasto sobre uma esfera lisa movendo-se em um fluido.

O fenômeno descrito envolve cinco grandezas principais:

Força de arrasto (F)
Velocidade (v)
Diâmetro da esfera (D)
Massa específica do fluido (ρ)
Viscosidade do fluido (μ)

Essas variáveis interferem diretamente na força exercida pelo fluido sobre a esfera. O desafio é reescrever essa relação complexa em termos de números adimensionais, ou seja, eliminar as unidades físicas, facilitando a análise e comparação de resultados.

Primeiro, são listadas as equações dimensionais de cada grandeza, utilizando o sistema F‑L‑T (Força, Comprimento e Tempo) como base:

Força: F
Massa específica (ρ): F·L⁻⁴·T²
Velocidade: L·T⁻¹
Diâmetro: L
Viscosidade (μ): F·L⁻²·T

Com base na fórmula m = n – r, onde n = 5 (número de variáveis) e r = 3 (número de grandezas fundamentais), temos m = 2, ou seja, dois números adimensionais independentes devem ser encontrados.

Para isso, é necessário selecionar três variáveis como base. A escolha mais recomendada — por frequência nos fenômenos estudados — é:
ρ (massa específica), v (velocidade) e D (diâmetro)

Essas servirão como base para construir os dois números adimensionais. As grandezas restantes (força e viscosidade) serão combinadas com as bases para formar os π’s:

π₁ = ρ^α¹ · v^α² · D^α³ · F
π₂ = ρ^β¹ · v^β² · D^β³ · μ

Substituindo cada grandeza por sua equação dimensional e igualando os expoentes para que o resultado final seja adimensional (ou seja, sem unidade), encontramos os expoentes:

Para π₁:

α₁ = -1
α₂ = -2
α₃ = -2

Assim:

π₁ = F / (ρ·v²·D²) → este é o coeficiente de arrasto (Cᵈ)

Para π₂:

β₁ = -1
β₂ = -1
β₃ = -1

Assim:

π₂ = μ / (ρ·v·D) → esse é o inverso do número de Reynolds (1/Re)

Ambos são amplamente utilizados na mecânica dos fluidos. O número de Reynolds é particularmente importante, pois determina o regime de escoamento (laminar ou turbulento) e tem papel central na engenharia.

Portanto, a função final que descreve o fenômeno é:

Φ(Cᵈ, 1/Re) = 0
Ou, de forma alternativa:
Cᵈ = f(Re)

Isso reduz de cinco variáveis para apenas duas, simplificando a análise sem perder fidelidade na representação física do fenômeno.