ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA: GRANDEZAS FUNDAMENTAIS E DERIVADAS

Nesta aula, abordamos os conceitos de análise dimensional e teoria da semelhança, fundamentais para a resolução de problemas em engenharia mecânica, especialmente quando os métodos analíticos se tornam complexos devido à quantidade de variáveis envolvidas.

Em muitos problemas da engenharia mecânica, a solução analítica torna-se inviável, e é mais eficiente recorrer a experimentos. Um exemplo clássico é a força de arrasto, que depende da viscosidade do fluido, do diâmetro da coluna, da velocidade, entre outros fatores. A partir de experimentos e utilizando a análise dimensional, é possível transformar resultados experimentais em modelos matemáticos aplicáveis a diversas situações.

A análise dimensional, portanto, é uma ferramenta matemática que racionaliza a pesquisa, permitindo criar modelos com base em fenômenos estudados. Por meio dela, obtemos os chamados números adimensionais, que são parâmetros essenciais para previsões de comportamento de sistemas reais a partir de modelos reduzidos.

A teoria da semelhança, consequência direta da análise dimensional, possibilita a resolução de problemas utilizando modelos em escala. Assim, podemos prever o comportamento de um equipamento de grande porte com base em testes realizados em protótipos menores.

Para aplicar corretamente a análise dimensional, é essencial entender a diferença entre grandezas fundamentais e grandezas derivadas. As grandezas fundamentais são aquelas que não dependem de outras para serem definidas, enquanto as derivadas são formadas por combinações das fundamentais. Na mecânica dos fluidos, utilizamos geralmente três grandezas fundamentais: força (F), comprimento (L) e tempo (T).

Apesar de existirem outras combinações possíveis (como massa, comprimento e tempo), a escolha por F, L e T é uma questão de conveniência e referência bibliográfica. Com base nessas três grandezas, conseguimos derivar todas as outras que serão necessárias na análise dos fenômenos mecânicos.

Um exemplo prático apresentado foi o cálculo da equação dimensional da massa específica (ρ). Sabemos que:

ρ = massa / volume

A massa pode ser expressa em termos de força e aceleração:

massa = F / a

A aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo:

a = L / T²

Substituindo, temos:

massa = F / (L / T²) = F × L⁻¹ T⁻²

O volume é L³, logo:

ρ = (F × L⁻¹ T⁻²) / L³ = F × L⁻⁴ T⁻²

Portanto, a equação dimensional da massa específica em termos de F, L e T é:

[ρ] = F L⁻⁴ T⁻²

Essa representação permite compreender como diferentes variáveis se relacionam dentro de um fenômeno, tornando a análise mais objetiva e a previsão de comportamentos mais precisa.