AULAS DA PÓS-GRADUAÇÃO

A equação de Bernoulli é uma das mais usadas em mecânica dos fluidos. Também é uma das mais confundidas.

É comum encontrar material técnico, e até postagens em redes sociais, em que a equação completa da energia é apresentada como “princípio de Bernoulli”. Não é.

Bernoulli é o caso particular da equação da energia para fluido ideal, sem perda de carga e sem máquina. A equação da energia, no caso geral, admite perdas e máquinas. Misturar as duas leva a erro de cálculo e a interpretação equivocada do problema.

O QUE DEFINE UM FLUIDO IDEAL

Há duas definições que circulam entre autores e professores. Algumas, mais formais, dizem que fluido ideal é aquele em que os efeitos da viscosidade são desprezíveis.

Outras, mais diretas, dizem simplesmente que fluido ideal é aquele que não tem viscosidade.

Note que, no fundo, é a mesma coisa. Se a viscosidade é desprezível, o resultado prático é equivalente a tratar a viscosidade como zero. A consequência é a mesma: sem viscosidade, não há atrito interno; sem atrito, não há dissipação de energia.

O fluido escoa sem perdas. Alguns autores ainda chamam esse escoamento de “escoamento não viscoso” ou “escoamento invíscido”. Termos diferentes, mesma ideia.

POR QUE ESTUDAMOS O CASO IDEAL

A pergunta é honesta: se o fluido ideal não existe, por que estudamos? Porque ele é referência. O ideal estabelece o máximo teórico que o sistema pode entregar. Vale para tudo na engenharia.

A máquina de Carnot é a referência ideal para máquinas térmicas. Quem opera em ciclo Rankine ou Otto sabe que o rendimento real é sempre menor que o de Carnot.

Em escoamento, a lógica é a mesma: se a equação de Bernoulli, na situação ideal, indica que entre dois pontos a energia se conserva, então o caso real terá energia menor no segundo ponto. Pela física, não pode ter mais.

Eu costumo usar uma historinha boba para fixar a ideia. Imagine que você sai de casa com R$ 100 no bolso para encontrar alguém em outro lugar. Caminha pelo shopping, atravessa o estacionamento, chega ao ponto combinado, e continua com R$ 100 no bolso.

Não gastou nada, não ganhou nada. O que tinha no início é o que tem no fim. Bernoulli é exatamente isso: a energia que entra na seção um é a energia que sai na seção dois. Sem perdas, sem ganhos.

A FORMA COMPACTA DA EQUAÇÃO

A equação de Bernoulli, quando escrita ponto a ponto, fica:

P1/γ + V1²/(2g) + Z1 = P2/γ + V2²/(2g) + Z2

Cada termo representa uma forma de energia por unidade de peso, com dimensão de altura (em metros de coluna de fluido). O termo P/γ é a energia de pressão. V²/(2g) é a energia cinética. Z é a energia potencial gravitacional, medida a partir de um plano horizontal de referência.

Observe que, somados, os três formam o que chamamos de carga total, ou H.

A equação na forma compacta: H1 = H2

As hipóteses por trás da equação são: fluido ideal, escoamento incompressível (massa específica constante), regime permanente, fluido tratado como meio contínuo, e ausência de máquina entre as duas seções analisadas.

A origem matemática mais formal é diferente. Os livros tradicionais de mecânica dos fluidos partem das equações de Euler, aplicam entre dois pontos numa mesma linha de corrente, integram, e chegam a essa expressão. Para quem vai trabalhar com simulação numérica em CFD, esse caminho importa, e a equação de Navier-Stokes vem logo depois. Para quem dimensiona bomba, tubulação e equipamento industrial, a forma compacta basta.

QUANDO ENTRA UMA BOMBA

A equação de Bernoulli, por definição, não admite máquina entre os dois pontos. Mas o sistema real quase sempre tem uma.

A bomba entrega energia ao escoamento. Não importa o tipo: centrífuga, axial, pistão, engrenagem, peristáltica, parafuso. Pode ser, no limite, alguém empurrando o fluido com a mão. A bomba acrescenta uma parcela de energia que chamamos de “altura manométrica”, representada por HB.

Nessa situação a equação se reescreve: H1 + HB = H2

A energia em dois passa a ser a energia em um mais o que a bomba entregou. Continua não havendo perdas no trecho. Voltando à analogia, é como se você saísse de casa com R$ 100, passasse num caixa eletrônico no caminho, sacasse mais R$ 50, e chegasse ao destino com R$ 150. A bomba é o caixa eletrônico do escoamento.

Quando a aplicação é dimensionamento de bomba, o HB acaba se manifestando majoritariamente como diferencial de pressão, porque a vazão é fixada pelo processo e a velocidade já está estabelecida pela tubulação. Vamos discutir isso em mais profundidade quando falarmos especificamente de seleção e dimensionamento.

ONDE A CONFUSÃO APARECE NA INDÚSTRIA

Voltando ao ponto de partida deste texto: alguns materiais técnicos, e diversas postagens em redes sociais, chamam a equação completa da energia, com perda de carga, de “princípio de Bernoulli”. Está errado.
Bernoulli é caso particular. Equação da energia é o caso geral.

Quando se inclui o termo de perda de carga (Hp) e eventualmente máquinas (HB para bomba, HT para turbina), a equação fica: H1 + HB = H2 + HT + Hp

Essa é a equação da energia. Sem o HB, sem o HT e sem o Hp, ela degenera para Bernoulli. Com qualquer um desses termos diferente de zero, ela já não é mais Bernoulli, embora a estrutura seja parecida.
Na prática, isso depende da hipótese que você assumiu para resolver o problema.

Se está calculando a velocidade do jato saindo de um furo num reservatório, problema clássico de Torricelli, pode usar Bernoulli sem culpa: o sistema é curto, sem máquina, e a perda é desprezível. Se está dimensionando uma adutora de 5 km com bomba e curvas, esqueça Bernoulli.

Você precisa da equação da energia completa, com Hp calculado pela Darcy-Weisbach ou pela Hazen-Williams.

FECHAMENTO

A diferença entre Bernoulli e a equação da energia parece detalhe, mas decide o que entra na sua planilha de cálculo.

Bernoulli é o caso ideal. A equação da energia é o que a engenharia usa no dia a dia. Saber em qual dos dois você está trabalhando é o que separa um cálculo correto de um erro estrutural no projeto.

Esse artigo foi inspirado em um trecho de uma das nossas aulas da pós-graduação Engenharia de Movimentação de Fluidos e Equipamentos Industriais.

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