ENTENDENDO O TEOREMA DE PI – PARTE 3

Nesta aula, aprofundamos o Teorema de Pi, que possibilita transformar uma expressão complexa em várias grandezas em uma forma mais simples com números adimensionais. Essa técnica é fundamental para facilitar o estudo em mecânica dos fluidos.

Partindo de um fenômeno físico com n variáveis (por exemplo: força de arrasto, diâmetro, velocidade do escoamento, densidade, viscosidade, etc.), expressamos a relação original como uma função dessas variáveis igual a zero. A partir dela, aplicamos o Teorema de Pi para gerar uma nova função em termos de números adimensionais: π₁, π₂, π₃, …, πₘ = 0. Essa nova função é rigorosamente equivalente à original, garantindo que o comportamento do fenômeno se mantenha intacto.

O objetivo é reduzir o número de variáveis envolvidas, trocando grandezas físicas (com unidades) por números sem dimensão, como Reynolds. Essa transição traz grande clareza e simplificação para a análise.

O número m de números adimensionais resulta de:

m = n – r

onde
– n = quantidade de variáveis originais participantes do fenômeno;
– r = número de grandezas fundamentais que constituem essas variáveis (por exemplo, Força, Comprimento e Tempo → F‑L‑T).

No exemplo da força de arrasto, tínhamos 5 variáveis (velocidade, viscosidade, diâmetro, densidade e força). Considerando o sistema F‑L‑T (r=3), obtemos dois números adimensionais (m = 5 – 3 = 2).

Para construir cada πᵢ, utilizamos combinações adequadas das variáveis originais, definindo expoentes α₁, α₂,… para formar o produto:

π₁ = X₁ᵅ¹·X₂ᵅ²·…·Xᵣᵅʳ·Xᵣ₊₁,
π₂ = X₁ᵝ¹·X₂ᵝ²·…·Xᵣᵝʳ·Xᵣ₊₂, etc.

Os expoentes são exclusivos de cada π, garantindo que cada número adimensional seja distinto. As grandezas X₁ a Xᵣ que definem os expoentes comuns formam a base do sistema.

Na prática, recomenda-se escolher para a base as variáveis que aparecem com maior frequência em fenômenos da mecânica dos fluidos: massa específica (ρ), velocidade (v) e comprimento característico (L ou diâmetro D). Essas escolhas proporcionam maior clareza e consistência na construção dos números adimensionais seguintes (como viscosidade, força, etc.).

A velocidade, o comprimento característico (diâmetro de uma esfera, rotor, pá, etc.) e a densidade são fundamentais porque geralmente estão presentes em praticamente todo fenômeno de escoamento. Por isso, selecioná-las como base simplifica a extração dos π’s restantes.

Para definir uma base válida, as grandezas precisam ser independentes, ou seja, cada uma deve envolver pelo menos uma grandeza fundamental que não se repete nas demais.

Na próxima aula, aplicaremos essa teoria para resolver um exemplo prático: descobriremos explicitamente os números adimensionais (π₁, π₂…) para o caso da força de arrasto, montando passo a passo os expoentes.